evolutionäre Spieltheorie

Von e.Sp. spricht man meist dann, wenn das Verhalten der Spieler nicht durch rationale Entscheidungskalküle abgeleitet wird, sondern als Ergebnis von kulturellen oder genetischen Evolutionsprozessen begründet wird. Oft kann man die stabilen Ergebnisse solcher Prozesse auch durch statische Stabilitätskonzepte charakterisieren. Ein derartiges Konzept ist die evolutionär stabile Strategie (ESS).

- Wie in der Evolutionsbiologie üblich sei von einem symmetrischen 2-Personen-Spiel ausgegangen, das sich durch den für beide Spieler gemeinsamen Strategieraum S₁ = S₂ = M = \{m₁, m₂, ...\} sowie durch die Auszahlungsfunktion bzw. Fitness u(m, m̃) des Spielers 1 für alle Paare m, m̃ ∈ M beschreiben lässt. Eine Strategie m* ∈ M heißt evolutionär stabil, falls die Bedingungen (i)

und (ii)

mit u(m*, m*) = u(m, m*), erfüllt sind. Gemäß der Bedingung (i) erweist sich die Strategiekombination (m*, m*) als symmetrisches Gleichgewicht. Evolutionstheoretisch besagt (i) natürlich, dass nur die am besten angepasste Strategie bzw. Mutante überleben kann (Survial of the Fittest). Durch (ii) wird sichergestellt, dass eine alternative beste Antwort m auf m* sich in einer m*-monomorphen Population nicht ausbreiten kann: Sobald dies der Fall wäre, würde man mit positiver Wahrscheinlichkeit auf m-Gegenspieler treffen, gegen die m* erfolgreicher als m abschneidet. Der Anteil an m-Spielern würde also wieder zurückgedrängt.

Im ⇡ Falke- und Taube-Spiel der Abbildung „Evolutionäre Spieltheorie – Falke- und Taube-Spiel“ ist nur m* evolutionär stabil, falls V > C > 0, während sich für C > V > 0 nur eine vollständig gemischte Strategie q* mit

als evolutionär stabil erweist. Im letzteren Fall gilt natürlich u(q, q*) = u(q*, q*) für alle gemischten Strategien q, so dass die Bedingung u(q*, q) > u(q, q) für alle q ≠ q* nachgewiesen werden muss. In der Abbildung „Evolutionäre Speiltheorie – Spiel ohne evolutionäre stabile Strategie“ ist keine Strategie m = m₁, m₂, m₃ evolutionär stabil, da m₁ und m₃ die Bedingung (i) verletzten, während m₂ instabil ist, da m₃ eine alternative beste Antwort auf m₂ darstellt und u(m₂, m₃) = u(m₃, m₃) gilt, d.h. m₂ ist nur neutral stabil. m₂ kann auch als limes evolutionär stabil nachgewiesen werden. Neutral stabile und limes evolutionär stabile Strategien vergröbern das Konzept evolutionär stabiler Strategien, um die Existenz zu gewährleisten. Häufig benutzt man das Konzept evolutionär stabiler Strategien oder analoge Stabilitätsbedingungen für explizit dynamische Beschreibungen der Evolutions- bzw. Lernprozesse. Dynamische Anpassungsprozesse kann man als kontinuierliche oder diskrete Veränderungen modellieren. Bei stetiger Zeit und sehr großer Population lassen sich die Änderungen

der verschiedenen Populationsanteile q_i(t) der verschiedenen Strategien s_i ∈ S eines symmetrischen G = (S; A) mit der AuszahltungsmatrixA = (a_ij)_{si,sj ∈ S}durch die Differenzialgleichungen der Form

beschreiben, wobei natürlich

gelten muss. Das auch in der Evolutionsbiologie prominenteste Beispiel eines solchen Adaptionsprozesses ist die Replikatordynamik:

Hier bezeichnet A_i die i-te Zeile der Matrix A, d.h.

misst den Erfolg der Strategie s_i ∈ S in einer q(t)-Population. Analog wird durch

der durchschnittliche Erfolg aller Strategien in einer q(t)-Population erfasst. Gemäß der Replikatordynamik erhöt sich damit der Populationsanteil einer Strategie s_i ∈ S dann, wenn sie besser als der Durchschnitt in der durch q(t) beschriebenen Population abschneidet. Offensichtlich ist jeder Gleichgewichtspunkt q* von G = (S; A) ein Ruhepunkt der Replikatordynamik, d.h.

da sich alle Strategien s_i ∈ S mit qi* > 0 als beste Antworten auf q* erweisen. Für diskrete Zeit ergibt sich die Replikatordynamik gemäß

Wegen

gilt die Bedingung

Vgl. auch ⇡ Spieltheorie.